辅助角公式的主要作用是将多个三角函数的和化成单个函数,以此来求解有关最值问题。辅助角公式的内容是asinx+bcosx=√(a²+b²)sin[x+\arctan(b/a)](a>0)。
很多人在利用辅助角公式时,经常忘记反正切到底是b/a还是a/b,导致做题出错。其实有一个很方便的记忆技巧,就是不管用正弦还是余弦来表示asinx+bcosx,分母的位置永远是你用来表示函数名称的系数。
例如用正弦来表示asinx+bcosx,则反正切就是b/a(即正弦的系数a在分母)。如果用余弦来表示,那反正切就要变成a/b(余弦的系数b在分母)。
三角函数的辅助角公式是什么
辅助角公式是李善兰先生提出的一种三角函数公式,使用代数式表达为asinx+bcosx=√(a²+b²)sin[x+arctan(b/a)](a>0)。虽然该公式已经被写入中学课本,但其几何意义却鲜为人知。
辅助角公式表达为asinx+bcosx=√(a²+b²)sin[x+\arctan(b/a)](a>0),是一种高等三角函数公式。
三角函数的辅助角公式推导过程是什么
asinx+bcosx=√(a²+b²)[asinx/√(a²+b²)+bcosx/√(a²+b²)]
令a/√(a²+b²)=cosφ,b/√(a²+b²)=sinφ
asinx+bcosx=√(a²+b²)(sinxcosφ+cosxsinφ)=√(a²+b²)sin(x+φ)
其中,tanφ=sinφ/cosφ=b/a,φ的终边所在象限与点(a,b)所在象限相同。
简单例题:
(1)化简5sina-12cosa:
5sina-12cosa,
=13(5/13sina-12/13cosa);
=13(cosbsina-sinbcosa);
=13sin(a-b)。
其中,cosb=5/13,sinb=12/13。
(2)π/6<=a<=π/4,求sin²a+2sinacosa+3cos²a的最小值:
令f(a),
=sin²a+2sinacosa+3cos²a;
=1+sin2a+2cos²a。
1+sin2a+(1+cos2a)(降次公式)。
=2+(sin2a+cos2a);
=2+根号2sin(2a+π/4)(辅助角公式)。
因为7π/12<=2a+π/4<=3π/4。
所以f(a)min=f(3π/4)=2+(根号2)sin(3π/4)=3。