二次函数图像顶点在第一象限说明的问题有两种情况:第一种:当抛物线开口方向向上时,抛物线与x轴没有交点,无论x取任何实数,二次函数的值永远为正数。第二种:当抛物线开口方向向下时,抛物线与x轴有两个交点,当自变量在两个交点横坐标之间取值时,函数值大于零,当自变量取值大于大的横坐标、小于小的横坐标时,函数值小于零。
二次函数经过一二四象限的条件是什么
我们知道二次函数(设解析式为y=ax^2+bx+c,(a,b,c为常数,且a≠0))的图像是抛物线,根据抛物线的特点,由于已知二次函数的图象经过一,二,三象限。
所以它的开口向上,否则,它就要经过第四象限,此时二次项系数大于0,即a>0;由于它经过二,三象限,所以它与x轴的交点有不同的两个,此时应有b^2-4ac>0;由于它又不过第四象限,它与y轴交点不在负半轴,所以c≥0。另外它的对称轴x=-b/(2a)<0。
二次函数符号如何判断
符号判断类问题大致分为以下几种基本情形:
①a、b、c单个字母的判断,a由开口判断,b由对称轴判断,c由图像与y轴交点判断;
②含有a、b两个字母时,考虑对称轴;
③含有a、b、c三个字母,且a和b系数是平方关系,给x取值,结合图像判断。
例如:二次函数y=ax²+bx+c(a≠0),
当x=1时,y=a+b+c,
当x=-1时,y=a-b+c,
当x=2时,y=4a+2b+c,
当x=-2时,y=4a-2b+c;
含有a、b、c三个字母,a和b系数不是平方关系,想办法消掉一到两个字母再判断;
④含有b²和4ac,考虑顶点坐标,或考虑Δ;
⑤其他类型,可考虑给x取特殊值,联立方程进行判断;
也可结合函数最值,图像增减性进行判断。
二次函数相关例题及解析
二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)的图象经过点(﹣1,2),且与X轴交点的横坐标分别为x1,x2,其中﹣2<x1<﹣1,0<x2<1,下列结论:①4a﹣2b+c<0;②2a﹣b<0;③a+c<1;④b²+8a>4ac;⑤a<-1,其中正确的有几个?
A、1个,B、2个,C、3个,D、4个
答:抛物线的开口向下,则a<0;抛物线的对称轴-b/2a>²1,且c>0.
①含有a、b、c三个字母,且a、b系数是平方关系,给x取-2即可
由图可得:当x=-2时,y<0,即4a²2b+c<0,故①正确;
②含有a、b两个字母,考虑对称轴
已知-b/2a>²1,且a<0,所以2a²b<0,故②正确;
③只含有a、c,考虑联立消元
已知抛物线经过(-1,2),即a²b+c=2(1),
:当x=1时,y<0,即a+b+c<0(2),
联立(1)(2),得:a+c<1;所以③正确;
④含有b²和4ac,考虑顶点坐标,或考虑Δ。
由于抛物线的对称轴大于-1,所以抛物线的顶点纵坐标应该大于2,即:(4ac²b²)/4a>2,
由于a<0,所以4ac²b²<8a,即b²+8a>4ac,故④正确;
⑤基本方法很难确定,考虑联立消元
已知抛物线经过(-1,2),即a²b+c=2(1),
由图知:当x=1时,y<0,即a+b+c<0(2),
由①知:4a²2b+c<0(3);
联立(1)(2),得:a+c<1;
联立(1)(3),得:2a²c<-4;
故3a<-3,即a<²1;所以⑤正确;
因此正确的结论是①②③④⑤。