二次函数的图象与y轴的公共点,用x等于0代入函数去求。抛物线y=ax²+bx+c的图象与坐标轴的交点:
1、图象与y轴一定相交,交点坐标为(0,c);即x等于0代入函数式求得y等于0。
2、与x轴交点用y等于0代入函数式去解出x;
当△=b²-4ac>0,图象与x轴交于两点;
当△=0.图象与x轴只有一个交点;
当△<0.图象与x轴没有交点。
二次函数公共点的取值范围
有两种方法可以判断二次函数公共点y=Ax²+bx+c的取值范围:
第一个是根据图像的性质,简单点说,就是看a,a大于0,开口向上,有最小值,4a分之4ac-b的平方,a小于0,开口向下,有最大值,4a分之4ac-b的平方。
第二是根据对称轴,负二a分之b,也是先看a,将对称轴横坐标代入式子求值。
二次函数的基本表示形式为y=ax²+bx+c(a≠0)。二次函数最高次必须为二次,二次函数的图像是一条对称轴与y轴平行或重合于y轴的抛物线。
二次函数表达式为y=ax²+bx+c(且a≠0),它的定义是一个二次多项式(或单项式)。如果令y值等于零,则可得一个二次方程,该方程的解称为方程的根或函数的零点。
二次函数公共点问题解题技巧
例题:已知二次函数,=x2+bx+m图象的对称轴为直线x=2,将二次函数y=x2+bx+m图象中y轴左侧部分沿x轴翻折,保留其他部分得到新的图象C。
(1)求b的值;
(2)①当m<0时,图C与x轴交于点M,N(M在N的左侧),与y轴交于点P。当△MNP为直角三角形时,求m的值;
②在①的条件下,当图象C中-4≤y<0时,结合图象求x的取值范围;
(3)已知两点A(-1,-1),B(5,-1),当线段AB与图象C恰有两个公共点时,直接写出m的取值范围。
【分析】
(1)由二次函数的对称轴直接可求b的值;
(2)①求出M(2-,0),N(2+,0),再求出MN=2,MV的中点坐标为(2,0),利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半,列出方程即可求解;
②求出抛物线y=x2-4x-1(x≥0)与直线y=-4的交点为(1,-4),(3,-4),再求出y=x2-4x-1关于x轴对称的抛物线解析式为y=-x2+4x+1(x<0)当-x2+4x+1=-4时,解得x=5(舍)或x=-1,抛物线y=-x2+4x+1(x<0)与直线y=-4的交点为(-1,-4),结合图像可得-1≤x<2-或0≤x≤1或3≤x<2+时,-4≤v<0;
(3)通过画函数的图象,分类讨论求解即可。
[解析](1)∵已知二次函数y=x2+bx+m图象的对称轴为直线x=2,∴b=-4;
(2)①令x2+bx+m=0,
解得x=2-或x=2+,
∵M在N的左侧,
∴M(2-,0),N(2+,0),
∴MN=2,MN的中点坐标为(2,0),
∵△MNP为直角三角形,
解得m=0(舍)或m=-1;
②∵m=-1,
∴=x2-4x-1(x≥0),
令x2-4x-1=-4,
解得x=1或x=3,
∴抛物线y=x2-4x-1(x≥0)与直线y=-4的交点为(1,-4),(3,-4),
∵y=x2-4x-1关于x轴对称的抛物线解析式为y=-x2+4x+1(x<0),
当-x2+4x+1=-4时,解得x=5(舍)或x=-1,
∴抛物线y=-x2+4x+1(x<0)与直线p=-4的交点为(-1,-4),
∴-1≤x<2-或0≤x≤1或3≤x<2+时,-4≤y<0;
(3)y=x²-4:x+m关于x轴对称的抛物线解析式为y=-x2+4x-m(x<0),
当y=-x2+4x-m(x<0)经过点A时,-1-4-m=-1,
解得m=-4,
∴y=x2-4x-4(x≥0),当x=5时,y=1,
∴y=x2-4x-4(x≥0)与线段AB有一个交点,
∴m=-4时,当线段AB与图象C恰有两个公共点;
当y=x2-4:x+m(x≥0)经过点(0,-1)时,m=-1,
此时图象C与线段AB有三个公共点,
∴-4≤m<-1时,线段AB与图象C恰有两个公共点;
当y=-x2+4x-m(x<0)经过点(0,-1)时,m=1,
此时图象C与线段AB有两个公共点,
当y=x2-4x+m(x≥0)的顶点在线段AB.上时,m-4=-1,
解得m=3,
此时图象C与线段AB有一个公共点,
∴1≤m<3时,线段AB与图象C恰有两个公共点;。
综上所述:-4≤m<-1或1≤m<3时,线段AB与图象C恰有两个公共点。