二次函数大于0说明方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不等的实数根。
因为二次函数y=ax²+bx+c,如果要满足y恒大于0,那么必然:函数图像是一个开口向上的图像,即a>0。
而且函数最小值必须要大于0。在满足上述条件下,二次函数与x轴就不会产生交点,也就是如果要计算,我们只需要计算顶点,也就是此题的最低点在x轴上方。又因为a>0,y>0,所以只需要4ac-b^2<0,也就是b^2-4ac>0。
1、当Δ>0时,方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不等的实数根;
2、当Δ=0时,方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个相等的实数根;
3、当Δ<0时,方程ax2+bx+c=0(a≠0)无实数根。
二次函数的表达式有哪些
1、一般式:y=ax²+bx+c(a≠0)。
2、交点式:y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)。
其中(x1,0)、(x2,0)是图像与x轴交点,a,b,c为常数,a≠0,且a决定函数的开口方向,a>0时,开口方向向上,a<0时,开口方向向下。a的绝对值还可以决定开口大小,a的绝对值越大开口就越小,a的绝对值越小开口就越大。
3、顶点式:y=a(x+h)+k(a≠0)。
其中(——h,k)是图像的顶点,顶点坐标为(——m,k)对称轴为x=-m,顶点的位置特征和图像的开口方向与函数y=ax∧2的图像相同。
注:在3种形式的互相转化中,有如下关系:
h=-b/2a;
k=(4ac-b²)/4a;
x₁,x₂=(-b±√b²-4ac)/2a。
二次函数抛物线的性质
1、抛物线是轴对称图形。对称轴为直线x=-b/2a。
对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。特别地,当b=0时,抛物线的对称轴是y轴(即直线x=0)。
2、抛物线有一个顶点P,坐标为:P(-b/2a,(4ac-b²)/4a)。当-b/2a=0时,P在y轴上;当Δ=b²-4ac=0时,P在x轴上。
3、二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。
当a>0时,抛物线向上开口;当a<0时,抛物线向下开口。|a|越大,则抛物线的开口越小。
4、一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。
当a与b同号时(即ab>0),对称轴在y轴左;当a与b异号时(即ab<0),对称轴在y轴右。
5、常数项c决定抛物线与y轴交点。抛物线与y轴交于(0,c)。
6、抛物线与x轴交点个数:
Δ=b?-4ac>0时,抛物线与x轴有2个交点。
Δ=b?-4ac=0时,抛物线与x轴有1个交点。
Δ=b?-4ac<0时,抛物线与x轴没有交点。X的取值是虚数(x=-b±√b?——4ac的值的相反数,乘上虚数i,整个式子除以2a)。