质数:是在大于1的自然数中,除了1和它本身以外不再有其他因数。
合数:是自然数中除了能被1和本身整除外,还能被其他数(0除外)整除的数。
质数和合数的概念
质数又称素数。一个大于1的自然数,除了1和它自身外,不能被其他自然数整除的数叫做质数。最小的质数是2,它也是唯一的偶数质数。最前面的质数依次排列为:2,3,5,7,11等。比1大但不是质数的数称为合数。
合数是指自然数中除了能被1和本身整除外,还能被其他数(0除外)整除的数。与之相对的是质数,而1既不属于质数也不属于合数。最小的合数是4。其中,完全数与相亲数是以它为基础的。
质数与合数联系
除了2之外,所有的偶数都是合数。反之,除了2之外,所有的素数都是奇数。但是奇数包括了合数和素数。合数根和素数根的概念就是用来区分任何一个大于9的奇数属于合数还是素数。
任何一个奇数都可以表示为2n+1(n是非0的自然数)。我们将n命名为数根。当2n+1属于合数时,我们称之为合数根;反之,当2n+1是素数时,我们称之为素数根。
合数的性质
(1)所有大于2的偶数都是合数。
(2)所有大于5的奇数中,个位为5的都是合数。
(3)除0以外,所有个位为0的自然数都是合数。
(4)所有个位为4,6,8的自然数都是合数。
(5)最小的(偶)合数为4,最小的奇合数为9。
(6)每一个合数都可以以唯一形式被写成质数的乘积,即分解质因数。
质数的性质
(1)质数$p$的约数只有两个:1和$p$。
(2)初等数学基本定理:任一大于1的自然数,要么本身是质数,要么可以分解为几个质数之积,且这种分解是唯一的。
(3)质数的个数是无限的。
(4)若$n$为正整数,在$n^2$到$(n+1)^2$之间至少有一个质数。
(5)若$n$为大于或等于2的正整数,在$n$到$n!$之间至少有一个质数。
(6)所有大于10的质数中,个位数只有1,3,7,9。